Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，公差為d．已知S₂，S₃+1，S₄成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求d的值；
（Ⅱ）若a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，求

an-2

Sn

（n∈N^*）的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由S₂，S₃+1，S₄成等差數(shù)列，得S₂+S₄=2（S₃+1），利用等差數(shù)列求和公式可化為a₁和d的方程，解出可得d；
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，得a22=a1a5，可求得a₁，從而可得a_n和S_n，借助二次函數(shù)性質(zhì)可求

an-2

Sn

的最大值；

解答： 解：（Ⅰ）由S₂，S₃+1，S₄成等差數(shù)列，
得S₂+S₄=2（S₃+1），即（2a₁+d）+（4a₁+6d）=2（3a₁+3d）+2，
解得d=2．
（Ⅱ）由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，得a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，Sn=

n(a1+an)

2

=n²．
∴

an-2

Sn

=

2n-3

n2

=-3(

1

n

-

1

3

)2+

1

3

．
∴當(dāng)n=3時，

an-2

Sn

的最大值為

1

3

．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式求和公式、二次函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運算求解能力，屬基礎(chǔ)題．