Question

如果存在滿足

1

x

+

m

y

=1的變量x，y（x＞0，y＞0），使得x+y-

x2+y2

最得最大值，則m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(r＞0，0＜θ＜

π

2

)，由

1

x

+

m

y

=1，可得r=

1

cosθ

+

m

sinθ

，設(shè)f（θ）=x+y-

x2+y2

利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得，令f′（θ）=0，解得m=

cosθ-(-1)

sinθ-(-1)

，畫出圖形，利用斜率的意義即可得出．

解答： 解：設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ(r＞0，0＜θ＜

π

2

)，
∵

1

x

+

m

y

=1，∴r=

1

cosθ

+

m

sinθ

，
∴f（θ）=x+y-

x2+y2

=r（sinθ+cosθ-1）=(

1

cosθ

+

m

sinθ

)（sinθ+cosθ-1）=1+m+

sinθ-1

cosθ

+

m(cosθ-1)

sinθ

，
f′（θ）=

cos2θ+cosθ(sinθ-1)

cos2θ

+

-msin2θ-(mcosθ-m)cosθ

sin2θ

，
令f′（θ）=0，
解得m=

cosθ-(-1)

sinθ-(-1)

，
m為動(dòng)點(diǎn)Q（cosθ，sinθ）到定點(diǎn)P（-1，-1）的斜率，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為

1

4

的圓，在第一象限，
由圖可知：斜率的最大值為k_PB=2，最小值為k_PA=

1

2

，
∴m的范圍為(

1

2

，2)．
故答案為：(

1

2

，2)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了通過(guò)三角函數(shù)代換利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值轉(zhuǎn)化為斜率的計(jì)算，考察了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．