Question

己知等比數列{a_n}所有項均為正數，首項a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{a_n+1-λa_n}的前n項和為S_n，若S₆=63，求實數λ的值．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）由已知條件利用等比數列通項公式求出q=2，從而得到an=2n-1，（n∈N^*）．
（Ⅱ）記b_n=a_n+1-λa_n，則bn=2n-λ•2n-1，由此能求出實數λ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比數列{a_n}所有項均為正數，
首項a₁=1，且a₄，3a₃，a₅成等差數列，
∴2（3q²）=q³+q⁴，且q＞0，
解得q=2，
∴an=2n-1，（n∈N^*）．（6分）
（Ⅱ）記b_n=a_n+1-λa_n，則bn=2n-λ•2n-1，
若λ=2，b_n=0，S_n=0不符合條件；
若λ≠2，則

bn+1

bn

=2，
數列{b_n}為等比數列，首項為2-λ，公比為2，
此時Sn=

2-λ

1-2

(1-2n)=(2-λ)(2n-1)，
又S₆=63，所以2-λ=1，
解得λ=1．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查實數值的求法，解題時要認真審題，注意等差數列、等比數列的性質的合理運用．