(1)△AOB面積的最小值及此時(shí)直線l的方程;
(2)求直線l在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時(shí)直線l的方程;
(3)求|PA|·|PB|的最小值及此時(shí)直線l的方程.
思路解析:本題的關(guān)鍵是何時(shí)取得最值.可以先設(shè)出斜率,分別求出|OA|,|OB|,然后再由不等式、判別式或三角變換等有關(guān)方法來求.
(1)解法一:設(shè)直線l的方程為y-1=k(x-2).
令y=0,得x=;令x=0,得y=1-2k.
∴A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(,0),B(0,1-2k).
∵A、B是l與x軸、y軸正半軸的交點(diǎn),
∴
S△ABC=·|OA|·OB|=··(1-2k)=(4--4k).
由->0,-4k>0,有--4k≥2=4.
當(dāng)且僅當(dāng)-=-4k,即k=-時(shí),--4k取最小值4.
∴S△AOB的最小值為×(4+4)=4.
此時(shí)l的方程是y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
解法二:設(shè)l的方程為+=1(a>0,b>0).
∵點(diǎn)P(2,1)在l上,∴+=1.
又∵+≥2,∴2≤1.
∴ab≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)==,即a=4,b=2時(shí),△AOB面積S=ab有最小值4.
此時(shí)直線l的方程為+=1.
解法三:由解法一知S=··(1-2k),
整理得4k2+2(S-2)k+1=0.
∵k∈R,∴Δ=4(S-2)2-4×4×1≥0.解得S≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)S=4時(shí),k=-.
∴△AOB面積的最小值為4.
當(dāng)△AOB面積最小時(shí),l的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.
解法四:由解法二可知+=1,∴b=. ①
△AOB的面積S=·a·b=·a·=, ②
整理得a2-2aS+4S=0.
∵a∈R,∴Δ=4S2-4×4S≥0,(S>0).∴S≥4.
將S=4代入②,得a=4;將a=4代入①,得b=2.
∴△AOB面積的最小值為4.
此時(shí)直線l的方程為+=1,即x+2y-4=0.
(2)解法一:∵A(,0),B(0,1-2k)(k<0=,
∴截距之和為+1-2k=3-2k-=3+(-2k)+(-)≥3+2=3+2.
此時(shí)-2k=-,即k=-.故截距之和的最小值為3+2.
此時(shí)l的方程為y-1=-(x-2).
解法二:∵+=1(a>0,b>0),
∴a+b=(a+b)(+)=2+1++=3++≥3+2=3+2.
此時(shí)=,即2b2=a2.求得b=+1,a=2+.
故截距之和的最小值為3+2.
∴此時(shí)直線l的方程為+=1,即y-1=-(x-2).
輕輕告訴你 行不義的人比遭受這個(gè)不義行為的人更不幸。——德謨克利特
(3)解法一:∵A(2-,0),B(0,1-2k)(k<0),
∴|PA|·|PB|=·=2[+(-k)]≥4.
當(dāng)且僅當(dāng)-k=-,即k=-1時(shí)上式等號(hào)成立.
故|PA|·|PB|的最小值為4.此時(shí)直線l的方程為x+y-3=0.
解法二:∵|PA|=,|PB|=,
∴|PA|·|PB|==.
當(dāng)θ=45°時(shí),直線l的斜率為-1,此時(shí)|PA|·|PB|有最小值4,直線l的方程為x+y-3=0.
深化升華
以上三個(gè)小題的各種方法概括起來就是利用直線的斜率、截距及角θ作為參變量,利用均值不等式或判別式法求最值.一般來說,總是把所求的問題,如面積、截距之和、距離之積歸結(jié)為關(guān)于斜率k、角θ或截距的表達(dá)式,再去解決問題.這也是解析幾何中常用的代數(shù)手段.尤其是利用不等式求最值,今后會(huì)常遇到.
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如圖,過點(diǎn)P(1,0)作曲線C:的切線,切點(diǎn)為,設(shè)點(diǎn)在軸上的投影是點(diǎn);又過點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,設(shè)在軸上的投影是;………;依此下去,得到一系列點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
(1)求直線的方程;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)記到直線的距離為,求證:時(shí),
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