Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c
（1）b=0，c=-1，求f（x）＞0的x范圍；
（2）若不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}，求f（x）的解析式；
（3）若對于（2）中的f（x），不等式f（x）＞mx-1對于x∈R恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1））b=0，c=-1時，得f（x）=x²-1＞0，解出即可，
（2）不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}⇒f（x）=x²+bx+c=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（3）∵f（x）=x²-4x+3＞mx-1對于x∈R恒成立，得出x²-（4+m）x+4＞0對于x∈R恒成立，從而△＜0，解出即可．

解答： 解：（1））b=0，c=-1時，f（x）=x²-1＞0，解得：x＞1或x＜-1，
∴f（x）＞0的x范圍時（-∞，-1）∪（1，+∞）；
（2）不等式f（x）＜0的解集為{x|1＜x＜3}
⇒f（x）=x²+bx+c=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；
（3）∵f（x）=x²-4x+3＞mx-1對于x∈R恒成立，
∴x²-（4+m）x+4＞0對于x∈R恒成立，
∴△=（4+m）²-16＜0，
解得：-8＜m＜0，
∴實數(shù)m的取值范圍是：（-8，0）．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，判別式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．