Question

( 本小題滿分12分)

已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)．斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)不重合．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由？

（Ⅲ）求證：直線、的斜率之和為定值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） 

       （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為；

  （Ⅲ）見解析。

【解析】（1）在橢圓中，有，點(diǎn)在橢圓上，得到，離心率為，即，三個(gè)方程三個(gè)參數(shù)，可解出，得橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的斜截式方程與橢圓方程聯(lián)立，保證判別式大于0，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用跟與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求出的長，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)到直線BD的距離，就得到的面積，利用不等式求出或二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

（Ⅰ），  ，

∴，，

∴    ………………………………………………4分

       （Ⅱ）設(shè)直線BD的方程為

  

  ………………………①

    ………………………②

，

設(shè)為點(diǎn)到直線BD：的距離，

 ∴

∴ ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414471464336960/SYS201208241447550949992015_DA.files/image032.png">，所以當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為………9分

  （Ⅲ）設(shè)，，直線、的斜率分別為： 、，則

= …………………………（*）

 將（Ⅱ）中①、②式代入（*）式整理得

=0，

即0………………………………………………………………12分