Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

1

3

，a_n²+2a_n-2a_n+1=0，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則[

1

a1+2

+

1

a2+2

+

1

a3+2

+…+

1

a2014+2

]=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，所以[

1

a1+2

+

1

a2+2

+

1

a3+2

+…+

1

a2014+2

]=[

1

a1

-

1

a2015

]，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：∵a₁=

1

3

，a_n²+2a_n-2a_n+1=0，
∴

1

2an+1

=

1

an2+2an

=

1

2

(

1

an

-

1

an+2

)，
∴

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，
∴[

1

a1+2

+

1

a2+2

+

1

a3+2

+…+

1

a2014+2

]
=[

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

a2014

-

1

a2015

]
=[

1

a1

-

1

a2015

]，
∵a_n²+2a_n-2a_n+1=0，
∴2an+1-2an=an2＞0，
∴{a_n}是增數(shù)列，
∵

1

9

+

2

3

-2a2=0，解得a2=

7

18

，

49

324

+

7

9

-2a3=0，解得a3=

301

162

，

90601

26244

+

301

81

-2a4=0，解得a4=

188125

13122

，
∵a₄＜a₂₀₁₅，∴0＜

1

a2015

＜1，
∴[

1

a1

-

1

a2015

]=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前2014項(xiàng)的和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．