Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為.

（1）求的直角坐標(biāo)方程和的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)與交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，求.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）利用互化公式把曲線C化成直角坐標(biāo)方程，把點(diǎn)P的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)；

（2）把直線l的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)韋達(dá)定理以及參數(shù)t的幾何意義可得．

（1）由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ＝2，將ρ2＝x2+y2，y＝ρsinθ代入上式并整理得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2＝1，

設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（x，y），因?yàn)?/span>P的極坐標(biāo)為（，），

所以x＝ρcosθcos1，y＝ρsinθsin1，

所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，1）．

（2）將代入y2＝1，并整理得41t2+110t+25＝0，

因?yàn)?/span>△＝1102﹣4×41×25＝8000＞0，故可設(shè)方程的兩根為t1，t2，

則t1，t2為A，B對應(yīng)的參數(shù)，且t1+t2，

依題意，點(diǎn)M對應(yīng)的參數(shù)為，

所以|PM|＝||．