Question

已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），點(diǎn)在橢圓E上．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P在橢圓E上，且滿足=t，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）解法一：設(shè)橢圓E的方程為（a＞b＞0），由半焦距c=1，a²-b²=1，點(diǎn)C（1，）在橢圓E上，得到．求出a²，b²，推出橢圓E的方程． 
解法二：設(shè)橢圓E的方程為（a＞b＞0），通過點(diǎn)C（1，）在橢圓E上，利用2a=|CF₁|+|CF₂|，求出a=2．由已知半焦距c=1，求出b²．然后求出橢圓E的方程． 
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），由=t，推出x²+y²=t+1．點(diǎn)P在曲線C上，，得y²=t+1-x²，然后求出0≤x²≤4，解出2≤t≤3．得到實(shí)數(shù)t的取值范圍．
解答：（本小題滿分14分）
（Ⅰ）解法一：依題意，設(shè)橢圓E的方程為（a＞b＞0），
由已知半焦距c=1，∴a²-b²=1．                      ①…（2分）
∵點(diǎn)C（1，）在橢圓E上，則．                ②…（4分）
由①、②解得，a²=4，b²=3．
∴橢圓E的方程為．                                      …（6分）
解法二：依題意，設(shè)橢圓E的方程為（a＞b＞0），
∵點(diǎn)C（1，）在橢圓E上，∴2a=|CF₁|+|CF₂|，即a=2．         …（3分）
由已知半焦距c=1，∴b²=a²-c²=3．                              …（5分）
∴橢圓E的方程為．                                      …（6分）
（Ⅱ）設(shè)P（x，y），由=t，得
（-1-x．-y）•（1-x，-y）=t，
即x²+y²=t+1．                                  ③…（8分）
∵點(diǎn)P在曲線C上，
∴．                                    ④
由③得y²=t+1-x²，代入④，并整理得
x²=4（t-2）．                                    ⑤…（10分）
由④知，0≤x²≤4，⑥…（12分）
結(jié)合⑤、⑥，解得：2≤t≤3．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2，3]．                                     …（14分）
點(diǎn)評：本小題主要考查橢圓的概念、橢圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想與方法，以及運(yùn)算求解能力．