Question

已知橢圓E的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），點（1，

3

2

）在橢圓E上．
（1）求橢圓E的方程
（2）若橢圓E上存在一點 P，使∠F₁PF₂=30°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析：（1）首先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

a2

+

y2

b2

=1，然后根據(jù)題意，求出a、b滿足的2個關(guān)系式，解方程即可．
（2）由點P在橢圓上，知|PF₁|+|PF₂|=2a=4．由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4，由此得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=12從而得到 S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=6-3

3

．

解答：解：（1）設(shè)橢圓E的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵c=1，
∴a²-b²=1①，
∵點（1，

3

2

）在橢圓E上，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1②，
由①、②得：a²=4，b²=3，
∴橢圓E的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由題意知，a=2，b=

3

、∴c=1
又∵點P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a=4、①
由余弦定理知：|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos30°=|F₁F₂|²=（2c）²=4②
把①兩邊平方得|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|•|PF₂|=16，③
③-②得（2+

3

）|PF₁|•|PF₂|=12，
∴|PF₁|•|PF₂|=12（2-

3

），
∴S△PF1F2=

1

2

|PF₁|•|PF₂|sin30°=6-3

3

、

點評：本題應(yīng)用了求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常規(guī)做法：待定系數(shù)法，熟練掌握橢圓的幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時考查了學(xué)生的基本運算能力與運算技巧；對于解三角形，利用邊和角求得問題的答案．