Question

在探究函數(shù)f（x）=x³+

3

x

，x∈（-∞，0）∪（0，+∞）的最值中，
（Ⅰ）先探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最值，列表如下：

x	…	0.1	0.2	0.5	0.7	0.9	1	1.1	1.2	1.3	2	3	4	5	…
y	…	30.0	15.01	6.13	4.6	4.06	4	4.06	4.23	4.50	9.5	28	64.75	125.6	…

觀察表中y值隨x值變化的趨勢，知x=

 

時，f（x）有最小值為

 

；
（Ⅱ）再依次探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上以及區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上的最值情況（是否有最值？是最大值或最小值？），請寫出你的探究結(jié)論，不必證明；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=3x²+

1

x2

，若g（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由表看出x=1時，f（x）有最小值是4；
（Ⅱ）可以證明函數(shù)為奇函數(shù)，則可以利用f（-x）=-f（x）得出函數(shù)在（-∞，0）的函數(shù)值對應(yīng)表，可得在區(qū)間（-∞，0）上，x=-1時，取得最大值-4，然后利用函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知圖象趨向無窮大，無最值，（Ⅲ）令2^x=t換元化簡，然后再令

1

t

=x，換元將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解，可以利用本題中（Ⅰ）的結(jié)論求最值．

解答： 解：（Ⅰ）x=1時，f（x）有最小值是4；
（Ⅱ）探究函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，0）上的最值，列表如下：

x	…	-0.1	-0.2	-0.5	-0.7	-0.9	-1	-1.1	-1.2	-1.3	-2	-3	-4	-5	…
y	…	-30.0	-15.01	-6.13	-4.6	-4.06	-4	-4.06	-4.23	-4.50	-9.5	-28	-64.75	-125.6	…

綜合上表，在區(qū)間（-∞，0）上，x=-1時，取得最大值-4，
在區(qū)間（-∞，0）∪（0，+∞）上，函數(shù)無最值，
（Ⅲ）令2^x=t，由x∈[-1，1]得t∈[

1

2

，2]，
則g（2^x）-k•2^x≥0換元得g（t）-kt≥0，即k≤

g(t)

t

=

3t2+ 1 t2

t

=3t+

1

t3

，
再令

1

t

=x，由t∈[

1

2

，2]得x∈[

1

2

，2]，換元得k≤x³+

3

x

，
即求解k≤x³+

3

x

，對于x∈[

1

2

，2]恒成立，
由（Ⅰ）可知f（x）=x³+

3

x

在區(qū)間（0，+∞）上，x=1時，f（x）有最小值是4，
則x∈[

1

2

，2]時，x³+

3

x

≥4，
則k≤4．

點(diǎn)評：本題考察函數(shù)的性質(zhì)及最值問題，難點(diǎn)在（Ⅲ）中通過兩次換元轉(zhuǎn)化為f（x）=x³+

3

x

在區(qū)間[

1

2

，2]上的最值求解，同時注意換元時引入?yún)��?shù)要注明參數(shù)范圍．