Question

已知數(shù)列{a_n}是公比q＞1的等比數(shù)列，且a₁+a₂=40，a₁a₂=256，又 b_n=log₂a_n．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若T_n+1-T_n=b_n（n∈N^*），且T₁=0．求證：對(duì)?n∈N^*，n≥2有．

Answer 1

【答案】分析：（1）解法1：根據(jù)a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，確定數(shù)列的a₁、a₂的值，從而可求公比，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，利用b_n=log₂a_n，可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
解法2：根據(jù)a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，確定數(shù)列的a₁、a₂的值，從而可求公比，進(jìn)而根據(jù)b_n=log₂a_n，可得{b_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-T_n-1=b_n-1=2n-1，根據(jù)T_n=（T_n-T_n-1）+（T_n-1-T_n-2）+…（T₃-T₂）+（T₂-T₁）+T₁，可求T_n的值，進(jìn)而可得，由此可證結(jié)論．
解答：解：（1）解法1：∵a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1，解得---------------（2分）
∴，∴---------------------------------（4分）
∴b_n=log₂a_n=--------------------------------------------（6分）
解法2：由a₁+a₂=40，a₁a₂=256，且q＞1得，∴------------------------------------（2分）
∴，----------------------------（3分）
又b₁=log₂a₁=log₂8=3，-------------------------------------------------------（4分）
∴{b_n}是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，----------------------------------------（5分）
∴b_n=3+（n-1）×2=2n+1；----------------------------------------------------（6分）】
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，T_n-T_n-1=b_n-1=2n-1，
∴T_n=（T_n-T_n-1）+（T_n-1-T_n-2）+…（T₃-T₂）+（T₂-T₁）+T₁
==（n-1）（n+1）；---------------（8分）
∵當(dāng)n≥2時(shí)，，----------------------------（10分）
∴==
=．------（12分）
∵n≥2，∴
∴．
又
∴
即對(duì)?n∈N^*，n≥2，．----------------------------------------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的項(xiàng)與公比，利用疊加法與裂項(xiàng)法求和，利用放縮法證明不等式．