已知雙曲線的兩條漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線的一個頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱．
（1）求雙曲線的方程；
（2）是否存在過A點(diǎn)的一條直線交雙曲線于M、N兩點(diǎn)，且線段MN被直線x=-1平分．如果存在，求出直線的方程；如果不存在，說明理由．
【答案】分析：（1）先確定雙曲線頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用雙曲線的漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，求得漸近線方程，從而求出雙曲線的方程；
（2）先假設(shè)存在，與雙曲線方程聯(lián)立，利用線段MN被直線x=-1平分，求參數(shù)的值，再進(jìn)行驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）由題意得，∵雙曲線的一個頂點(diǎn)A'與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對稱
∴頂點(diǎn)A'（0，）
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y=kx
∵雙曲線的漸近線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切
∴k=1
∴雙曲線的方程為
（2）設(shè)過A點(diǎn)的一條直線方程為，
代入雙曲線方程并化簡得
由題意，，即
經(jīng)驗(yàn)證，滿足題意
∴直線方程為
點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，關(guān)鍵是合理運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)，對于是否存在性問題，通常轉(zhuǎn)化為封閉型問題求解．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：重慶市高考真題 題型：解答題

已知以原點(diǎn)D為中心，F(xiàn)（，0）為右焦點(diǎn)的雙曲線C的離心率，。
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（2）如圖，已知過點(diǎn)M（x1，y1）的直線l1：x1x+4y1y=4與過點(diǎn)N（x2，y2）（其中x2≠x1）的直線l2：x2x+4y2y=4的交點(diǎn)E在雙曲線C上，直線MN與兩條漸近 線分別交于G、H兩點(diǎn)，求△OGH的面積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的一條漸近方程為，兩條準(zhǔn)線的距離為1。

   （1）求雙曲線的方程；

（2）直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O且和雙曲線交于兩點(diǎn)M，N，點(diǎn)P為雙曲線上異于M，N的一點(diǎn)，且直線PM，PN的斜率均存在，求kPM?kPN­的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知雙曲線的兩條漸近線方程為，若頂點(diǎn)到漸近

       線的距離為1，則雙曲線方程為            ．

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