Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=f（-x），當(dāng)x∈（0，

1

2

]時(shí)，f（x）=log

1

2

（1-x），則f（x）在區(qū)間（1，

3

2

）內(nèi)是（　�。�

• A、減函數(shù)且f（x）＞0
• B、減函數(shù)且f（x）＜0
• C、增函數(shù)且f（x）＞0
• D、增函數(shù)且f（x）＜0

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件推出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)的周期性得：f（x）在（1，

3

2

）上圖象和在（-1，-

1

2

）上的圖象相同，利用條件、奇偶性、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解；因?yàn)槎�義在R上的奇函數(shù)滿足f（x+1）=f（-x），
所以f（x+1）=-f（x），即f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
所以函數(shù)的周期是2，
則f（x）在（1，

3

2

）上圖象和在（-1，-

1

2

）上的圖象相同，
設(shè)x∈（-1，-

1

2

），則x+1∈（0，

1

2

），
又當(dāng)x∈（0，

1

2

]時(shí)，f（x）=log

1

2

（1-x），
所以f（x+1）=log

1

2

（-x），
由f（x+1）=f（-x）得，f（-x）=log

1

2

（-x），
所以f（x）=-f（-x）=-log

1

2

（-x），
由x∈（-1，-

1

2

）得，f（x）=-log

1

2

（-x）在（-1，-

1

2

）上是減函數(shù)，且f（x）＜f（-1）=0，
所以則f（x）在區(qū)間（1，

3

2

）內(nèi)是減函數(shù)且f（x）＜0，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件推出函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想．