Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x+2 x-1 ， x≠1    1，x=1

則f（

1

101

）+f（

2

101

）+f（

3

101

）+…+f（

201

101

）的值為（　　）

• A、199
• B、200
• C、201
• D、202

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先將式子f（

1

101

）+f（

2

101

）+f（

3

101

）+…+f（

201

101

）進(jìn)行首尾組合，利用規(guī)律：當(dāng)x₁≠1，x₂≠1，且x₁+x₂=2時(shí)，f（x₁）+f（x₂）=2成立．易得本題結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=

x+2 x-1 ， x≠1    1，x=1

，
∴當(dāng)x≠1時(shí)，f(x)=

x+2

x-1

=1+

3

x-1

，
∴當(dāng)x₁≠1，x₂≠1，且x₁+x₂=2時(shí)，有：
f(x1)+f(x2)=1+

3

x1-1

+1+

3

x2-1

=2+

3(x1+x2)-6

(x1-1)(x2-1)

=2．
∵

1

101

+

201

101

=2，
∴f（

1

101

）+f（

201

101

）=2．
同理f（

2

101

）+f（

200

101

）=2；
f（

3

101

）+f（

199

101

）=2；
f（

4

101

）+f（

198

101

）=2；
…
f（

100

101

）+f（

102

101

）=2．
又∵f（

101

101

）=f（1）=1．
∴f（

1

101

）+f（

2

101

）+f（

3

101

）+…+f（

201

101

）=201．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是組合求和法，難點(diǎn)在于利用函數(shù)的解析式找出函數(shù)值的規(guī)律，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．