Question

已知首項(xiàng)為

1

2

的等比數(shù)列{a_n}是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，且S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）已知b_n=a_n•log₂a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)能求出等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公比，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=a_nlog₂a_n=-n?（ 

1

2

）ⁿ，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由題知a₁=

1

2

，
又∵S₁+a₁，S₂+a₂，S₃+a₃成等差數(shù)列，
∴2（S₂+a₂）=S₁+a₁+S₃+a₃，
變形得S₂-S₁+2a₂=a₁+S₃-S₂+a₃，即得3a₂=a₁+2a₃，
∴

3

2

q=

1

2

+q²，解得q=1或q=

1

2

，…（4分）
又由{a_n}為遞減數(shù)列，得q=

1

2

，
∴a_n=a₁q^n-1=（ 

1

2

）ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）∵a_n=a₁q^n-1=（ 

1

2

）ⁿ，
∴b_n=a_nlog₂a_n=-n?（

1

2

）ⁿ，
∴Tn=-[1•

1

2

+2•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n-1+n•(

1

2

)n]，

1

2

Tn=-[1•(

1

2

)2+…+(n-1)•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1]，
兩式相減得：

1

2

Tn=-[

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1]
=-

1 2 •[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+n•(

1

2

)n+1，
解得Tn=

n+2

2n

-2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，注意錯(cuò)位相減求和法的合理運(yùn)用．