Question

已知不等式|x+2|+|x-m|≤3的解集為{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）若a²+2b²+3c²=m，求a+2b+3c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式在函數(shù)極值中的應(yīng)用,絕對值不等式的解法

專題：選作題

分析：（Ⅰ）依題意，當(dāng)x=1時不等式成立，可得3+|1-m|≤3，求出m的值，再檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）根據(jù)柯西不等式，得(a+2b+3c)2≤(12+

2

2+

3

2)[a2+(

2

b)2+(

3

c)2]=6，從而可求a+2b+3c的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）依題意，當(dāng)x=1時不等式成立，所以3+|1-m|≤3，解得m=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，m=1符合題意．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a²+2b²+3c²=1．根據(jù)柯西不等式，
得(a+2b+3c)2≤(12+

2

2+

3

2)[a2+(

2

b)2+(

3

c)2]=6
所以-

6

≤a+2b+3c≤

6

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

6

6

時，取得最大值

6

，a=b=c=-

6

6

時，取得最小值-

6

，
因此a+2b+3c的取值范圍是[-

6

，

6

]．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式，考查柯西不等式，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．