Question

某種平面分形圖如下圖所示，一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段，長度均為1，兩兩夾角為120°；二級分形圖是在一級分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長度為原來

1

3

的線段，且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°；依此規(guī)律得到n級分形圖．

（I）n級分形圖中共有

 

條線段；
（Ⅱ）n級分形圖中所有線段長度之和為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）n級分形圖中的線段條數(shù)是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列的和；
（Ⅱ）設(shè)n級分形圖中所有線段的長度之和為a_n，先根據(jù)題意可得a₁、a₂、a₃、a₄的值，找到其中的關(guān)系，進而可得到數(shù)列的通項公式．

解答： 解：（I）n級分形圖中的線段條數(shù)是以3為首項，2為公比的等比數(shù)列的和，即

3(1-2n)

1-2

=3•2ⁿ-3；
（Ⅱ）設(shè)n級分形圖中所有線段的長度之和為a_n，依題意a₁=3，a₂=3+2×3×

1

3

=3+2，
a₃=3+2×3×

1

3

+2×2×3×(

1

3

)2=3+2+

4

3

，
…，
它們構(gòu)成一個首項為3，公比為

2

3

的等比的和，
∴S_n=

3[1-( 2 3 )n]

1- 2 3

=9-9•(

2

3

)n．
故答案為：（Ⅰ）3•2ⁿ-3；（Ⅱ）9-9•(

2

3

)n．

點評：本題主要考查歸納推理，數(shù)列通項公式的求法．?dāng)?shù)列的通項公式在數(shù)列學(xué)習(xí)中占據(jù)很重要的地位，要強化學(xué)習(xí)．