在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),X軸的正半軸為極軸,取與直角坐標(biāo)系相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系.曲線C1的參數(shù)方程為:
x=acosφ
y=sinφ
(φ為參數(shù));射線C2的極坐標(biāo)方程為:θ=
π
4
,且射線C2與曲線C1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
6
3

(I)求曲線C1的普通方程;
(II)設(shè)A、B為曲線C1與y軸的兩個(gè)交點(diǎn),M為曲線C1上不同于A、B的任意一點(diǎn),若直線AM與MB分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn),求證|OP|.|OQ|為定值.
(Ⅰ)由于曲線C1的參數(shù)方程為:
x=acosφ
y=sinφ
(φ為參數(shù)),
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得
x2
a2
+
y2
1
=1

由于射線C2的極坐標(biāo)方程為:θ=
π
4
,故射線C2的方程為 y=x (x≥0).
把射線的方程代入
x2
a2
+
y2
1
=1
可得 x2=
a2
a2+1

再由射線C2與曲線C1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
6
3
,可得
a2
a2+1
=
6
9
,解得 a2=2,
故曲線C1的普通方程為
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)由|OP|•|OQ|為定值.由(Ⅰ)可知曲線C1為橢圓,不妨設(shè)A為橢圓C1的上頂點(diǎn),
設(shè)M(
2
cosθ,sinθ),P(xP,0),Q(xQ,0),因?yàn)橹本MA與MB分別與x軸交于P、Q兩點(diǎn),
所以KAM=KAP,KBM=KBQ,由斜率公式并計(jì)算得 xP=
2
cosθ
1-sinθ
,xQ=
2
cosθ
1+sinθ
,
所以|OP|•|OQ|=|xP•xQ|=2,可得|OP||OQ|為定值.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

選修4---4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,已知圓ρ=2cosθ與直線3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切,求實(shí)數(shù)a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程.
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸.已知直線l的參數(shù)方程為
x=2+tcosα
y=tsinα
(t為參數(shù)).曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=8cosθ.
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),與x軸的交點(diǎn)為F,求
1
|AF|
+
1
|BF|
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

選修4-4:極坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線C1
x=-4+cost
y=3+sint
(t為參數(shù)),C2
x=8cosθ
y=3sinθ
(θ為參數(shù)).
(1)化C1,C2的方程為普通方程;
(2)若C1上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t=
π
2
,Q為C2上的動(dòng)點(diǎn),求PQ中點(diǎn)M到直線C3
x=3+2t
y=-2+t
(t為參數(shù))距離的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

將參數(shù)方程
x=P(k2+
1
k2
)
y=P(
1
k
-k)
(k為參數(shù))化成普通方程是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

在極坐標(biāo)系中,圓C1的方程為ρ=4
2
cos(θ-
π
4
),以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面坐標(biāo)系,圓C2的參數(shù)方程
x=-1+αcosθ
y=-1+αsinθ
(θ為參數(shù)),若圓C1與C2相切,則實(shí)數(shù)a=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

柱坐標(biāo)(2,,5)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的直角坐標(biāo)是                

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

參數(shù)方程 (為參數(shù))化為普通方程是(   )
A.
B.
C.
D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

在直角坐標(biāo)系中圓C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),則圓C的普通方程為_(kāi)_______,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則圓C的圓心極坐標(biāo)為_(kāi)_______.

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