Question

已知橢圓的C兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1），離心率e=

1

2

，P是橢圓C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且|PF₁|-|PF₂|=1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)Q是橢圓C上不同于P的另一點(diǎn)，問是否存在以PQ為直徑的圓G過點(diǎn)F₂？若存在，求出圓G的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得c=1，，b²=a²-1²=3，從而可求橢圓的方程
（2）法一：由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=4，聯(lián)立|PF₁|-|PF₂|=1可求PF₁，PF₂結(jié)合F₁F₂=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
可得PF₂⊥F₁F₂P的縱坐標(biāo)為1，進(jìn)而可求P的坐標(biāo)
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得點(diǎn)P在雙曲線

y2

1 4

-

x2

3 4

=1的上支，從而可得P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，聯(lián)立

y2

4

+

x2

3

=1，

y2

1 4

-

x2

3 4

=1可求
（3）設(shè)存在滿足條件的圓，則PF₂⊥QF₂，設(shè)Q（s，t），則由題意可得(-

3

2

，0)•(-s，1-t)=0可求Q
由2r=|PQ|=

13

2

或2r=|PQ|=

45

2

，，從而可得圓的方程

解答：解：（1）依題可設(shè)橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)
則

1

2

=

1

a

⇒a=2，b²=a²-1²=3-------------（2分）
故曲線C的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．-------------------（3分）
（2）法一：由橢圓定義得|PF₁|+|PF₂|=4-----（1分）
聯(lián)立|PF₁|-|PF₂|=1得|PF1|=

5

2

，|PF2|=

3

2

-------（2分）
又|F₁F₂|=2，有|PF₁|²=|PF₂|²+|F₁F₂|²
∴PF₂⊥F₁F₂
∴P的縱坐標(biāo)為1，-------------------（3分）
把y=1代入

y2

4

+

x2

3

=1得x=

3

2

或x=-

3

2

（舍去）
∴P(

3

2

，1)-------------------（4分）
法二：由|PF₁|-|PF₂|=1得點(diǎn)P在以F₁（0，-1），F(xiàn)₂（0，1）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為1的雙曲線的上支上，---------（1分）
雙曲線的方程為

y2

1 4

-

x2

3 4

=1-------------------（2分）
聯(lián)立

y2

4

+

x2

3

=1得x2=

9

4

，y2=1------------------（3分）
因P在第一象限內(nèi)，故x=

3

2

，y=1∴P(

3

2

，1)-------------------（4分）
（3）設(shè)存在滿足條件的圓，則PF₂⊥QF₂，設(shè)Q（s，t），則(-

3

2

，0)•(-s，1-t)=0-------------------（1分）
得

3

2

s+0×(1-t)=0，得s=0-------------------（2分）
又

t2

4

+

s2

3

=1，∴t=±2-------------------（3分）
∴Q（0，2）或Q（0，-2）-------------------（4分）
2r=|PQ|=

13

2

，∴r=

13

4

，
∴圓G為：(x-

3

4

)2+(y-

3

2

)2=

13

16

-------------（6分）
或2r=|PQ|=

45

2

，∴r=

45

4

，∴圓G為：(x-

3

4

)2+(y+

1

2

)2=

45

16

------------（7分）

點(diǎn)評：本題主要考查了由橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，雙曲線的定義的應(yīng)用，直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于知識的綜合運(yùn)用．