Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）已知關(guān)于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過分類討論，去掉絕對值函數(shù)中的絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，即可求得不等式f（x）＞0的解集；
（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-3，關(guān)于x的不等式a+3＜f（x）恒成立?a＜f（x）-3恒成立?a＜g（x）_min，先求得f（x）_min，再求g（x）_min即可．
解答：解：（1）∵f（x）=|2x+1|-|x-3|=，
∵f（x）＞0，
∴①當(dāng)x＜-時，-x-4＞0，
∴x＜-4；
②當(dāng)-≤x≤3時，3x-2＞0，
∴＜x≤3；
③當(dāng)x＞3時，x+4＞0，
∴x＞3．
綜上所述，不等式f（x）＞0的解集為：（-∞，-4）∪（，+∞）…（5分）
（2）由（1）知，f（x）=，
∴當(dāng)x≤-時，-x-4≥-；
當(dāng)-＜x＜3時，-＜3x-2＜7；
當(dāng)x≥3時，x+4≥7，
綜上所述，f（x）≥-．
∵關(guān)于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，
∴a＜f（x）-3恒成立，
令g（x）=f（x）-3，則g（x）≥-．
∴g（x）_min=-．
∴a＜g（x）_min=-…10 分
點(diǎn)評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)的思想，考查恒成立問題，屬于難題．