選修4-5：不等式選講
設(shè)x，y，z∈（0，+∞），且x+y+z=1，求
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值．
分析：利用題中條件：“x+y+z=1”構(gòu)造柯西不等式（x+y+z）（
1
x
+
4
y
+
9
z
）≥（1+2+3）2這個(gè)條件進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：由x+y+z=1可知
1
x
+
4
y
+
9
z
=（x+y+z）（
1
x
+
4
y
+
9
z
）．
由柯西不等式得（x+y+z）（
1
x
+
4
y
+
9
z
）≥（1+2+3）2=36．
當(dāng)且僅當(dāng)
x
1
=
y
2
=
z
3
，即x=
1
6
，y=
1
3
，z=
1
2
時(shí)，等號(hào)成立．
所以，
1
x
+
4
y
+
9
z
的最小值為36．
點(diǎn)評(píng)：本題考查用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用（x+y+z）（
1
x
+
4
y
+
9
z
）≥（1+2+3）2．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選修4-5：不等式選講】
求下列不等式的解集
（Ⅰ）|2x-1|-|x+3|＞0
（Ⅱ）x+|2x-1|＞3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

選修4-5：不等式選講：
設(shè)正有理數(shù)x是
2
的一個(gè)近似值，令y=1+
1
1+x
．
（Ⅰ）若x＞
2
，求證：y＜
2
；
（Ⅱ）比較y與x哪一個(gè)更接近于
2
？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•鹽城模擬）（選修4-5：不等式選講）
已知a，b，c為正數(shù)，且a2+a2+c2=14，試求a+2b+3c的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•烏魯木齊一模）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（I）求證f（x）≥1；
（II）若f（x）=
a2+2
a2+1
成立，求x的取值范圍．

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