Question

在平面直角坐標系xOy中，過定點C（0，p）作直線與拋物線x²=2py（p＞0）相交于A、B兩點．
（Ⅰ）若點N是點C關于坐標原點O的對稱點，求△ANB面積的最小值；
（Ⅱ）是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以AC為直徑的圓截得弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：解法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯立得消去y得x²-2pkx-2p²=0．然后由韋達定理結合三角形面積公式進行求解．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，AC的中點為O'，l與AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，
則O'H⊥PQ，Q'點的坐標為（，y₁+），由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯立得消去y得x²-2pkx-2p²=0．由弦長公式得=，又由點到直線的距離公式得．由此能求出△ANB面積的最小值．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）-（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，則．由此入手能夠求出拋物線的通徑所在的直線．
解答：解：法1：（Ⅰ）依題意，點N的坐標為N（0，-p），
可設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線AB的方程為y=kx+p，與x²=2py聯立得，
消去y得x²-2pkx-2p²=0．
由韋達定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-2p²．
于是
=
=，
∴當k=0時，．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，
AC的中點為O'，l與AC為直徑的圓相交于點P，Q，PQ的中點為H，
則O'H⊥PQ，Q'點的坐標為（）．
∵，，
∴|PH|²=|O'P|²-|O'H|²==，
∴|PQ|²=（2|PH|）²=．
令，得，此時|PQ|=p為定值，
故滿足條件的直線l存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．
解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得=，
又由點到直線的距離公式得．
從而，∴當k=0時，．
（Ⅱ）假設滿足條件的直線l存在，其方程為y=a，則以AC為直徑的圓的方程為（x-0）（x-x₁）+（y-p）（y-y₁）=0，
將直線方程y=a代入得x²-x₁x+（a-p）（a-y₁）=0，
則|x₁-x₂|²=．
設直線l與以AC為直徑的圓的交點為P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），
則有．
令，得，此時|PQ|=p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為，
即拋物線的通徑所在的直線．
點評：本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．