Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，a∈R．
（1）若a=1，求f（x）的極小值；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為3．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，利用極值與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出；
（2）對a分類討論：當(dāng)a≤0時，當(dāng)0＜

1

a

＜e時，

1

a

≥e時，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x-lnx，
f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，
∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增．
∴f（x）的極小值為f（1）=1．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx，x∈[0，e]有最小值3，
f′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當(dāng)a≤0時，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
f（x）_min=f（e）=ae-1=3，a=

4

e

（舍去），
∴此時f（x）最小值不為3；
②當(dāng)0＜

1

a

＜e時，f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在(

1

a

，e]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f(

1

a

)=1+lna=3，解得a=e²，滿足條件；
③

1

a

≥e時，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

，舍去．
綜上可得：存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時，f（x）有最小值為3．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．