已知f(x)=ax-lnx,x∈(0,e],a∈R.
(1)若a=1,求f(x)的極小值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的最小值為3.
考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x-lnx,f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,利用極值與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得出;
(2)對a分類討論:當(dāng)a≤0時,當(dāng)0<
1
a
<e時,
1
a
≥e時,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答: 解:(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x-lnx,
f′(x)=1-
1
x
=
x-1
x
,
∴當(dāng)0<x<1時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)1<x<e時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增.
∴f(x)的極小值為f(1)=1.
(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a,使f(x)=ax-lnx,x∈[0,e]有最小值3,
f′(x)=a-
1
x
=
ax-1
x
,
①當(dāng)a≤0時,f(x)在(0,e]上單調(diào)遞增,
f(x)min=f(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),
∴此時f(x)最小值不為3;
②當(dāng)0<
1
a
<e時,f(x)在(0,
1
a
)上單調(diào)遞減,在(
1
a
,e]
上單調(diào)遞增,∴f(x)min=f(
1
a
)=1+lna
=3,解得a=e2,滿足條件;
1
a
≥e時,f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在(0,e]上單調(diào)遞減,∴f(x)min=f(e)=ae-1=3,解得a=
4
e
,舍去.
綜上可得:存在實(shí)數(shù)a=e2,使得當(dāng)x∈(0,e]時,f(x)有最小值為3.
點(diǎn)評:本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了分類討論的思想方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊系列答案
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1-cos2x
cos x
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若直線2ax-by+2=0(a>0,b>0)經(jīng)過圓x2+y2+2x-4y+1=0的圓心,則
1
a
+
1
b
的最小值是
 
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設(shè)函數(shù)f(x)對任意x∈R,都有f(x+3)=-
1
f(x)
,且當(dāng)x∈[-3,-2]時,f(x)=sin
πx
2
,則f(2014)=( �。�
A、0
B、
1
2
C、-1
D、1
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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已知橢圓的焦點(diǎn)為(-4,0),(4,0),橢圓上一點(diǎn) P到兩個焦點(diǎn)的距離之和為10,則橢圓方程為
 

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