Question

設(shè)f（x）=x|x-1|-blnx+m，（b，m∈R）
（Ⅰ）當(dāng)b=3時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在[l，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）記h（x）=f（x）+blnx，當(dāng)m＞1時(shí)，求函數(shù)y=h（x）在[0，m]上的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)b=1時(shí)，若函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出f′（x）=

2x2-x-3

x

=

(2x-3)(x+1)

x

，解不等式即可．
（2）分類討論當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，h（x）=-（x-

1

2

）²+m+

1

4

，當(dāng)x∈（1，m]時(shí)，h（x）=（x-

1

2

）²+m-

1

4

，再利用單調(diào)性求解最值．
（3）轉(zhuǎn)化為m=lnx-x|x-1|有解，構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-x|x-1|，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，借助最值研究．

解答： 解：（1）當(dāng)b=3時(shí)，因?yàn)閤＞1，則f（x）=x²-x-3lnx+m，
f′（x）=

2x2-x-3

x

=

(2x-3)(x+1)

x

，
當(dāng)x≥

3

2

時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在[

3

2

，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)x∈[1，

3

2

]時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在[1，

3

2

）單調(diào)遞減
（2）h（x）=f（x）+m，
∴當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，h（x）=-（x-

1

2

）²+m+

1

4

，
∴當(dāng)x=

1

2

時(shí)，h（x）_min=m+

1

4

∵h(yuǎn)（x）∈在（1，m]單調(diào)遞增，
∴h（x）_max=m²
由²≥m+

1

4

，
又m＞1，
∴可得m≥

1+ 2

2

，
∴當(dāng)m≥

1+ 2

2

時(shí)，h（x）_max=m²，
當(dāng)1＜m＜

1+ 2

2

時(shí)，h（x）_max=m+

1

4

（3）b=1時(shí)，函數(shù)f（x）有零點(diǎn)，即x|x-1|-lnx+m=0有解，
即當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，g（x）=x²-x+lnx，
∵g′（x）=2x-1+

1

x

≥2

2

-1＞0，
∴g（x）=lnx-x|x-1|，在（0，1]單調(diào)遞增，
∴g（x）≤g（1）=0
=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）=-x²+x+lnx，
g′（x）=-

(x-1)(2x+1)

x

＜0，
∴g（x）=lnx-x|x-1|，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（1）=0
∴m=lnx-x|x-1|有解時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為：m≤0

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)，不等式等知識(shí)，屬于難題．