Question

某學(xué)生在體育訓(xùn)練時弄傷了膝關(guān)節(jié)，醫(yī)生給開了一些消炎藥，并叮囑早晚8點各服用一片藥片．現(xiàn)知道該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出該藥的60%；并且如果這種要在體內(nèi)的殘留量超過386毫克就會產(chǎn)生副作用．問：
（1）該生上午8點第一次服藥，則第2天上午服完藥時，藥在他體內(nèi)還殘留多少？
（2）若該生長期服用該藥，會不會產(chǎn)生副作用？

Answer 1

解：（1）設(shè)該生第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為a_n毫克，
則：a₁=220，a₂=220+a₁×（1-60%）=220×1.4=308
a₃=220+a₂×（1-60%）=220+220×1.4×0.4
=343.2 （4分）
故第二天早間，他第三次服空藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為343.2毫克
（2）由a_n=220+4a_n-1得：a_n-=0.4（a_n-1-）（n≥2）
∴{a_n-}是一個以a₁-為首項，0.4為公比的等比數(shù)列
∴a_n-=（a₁-）•（0.4）^n-1＜0
∴a_n＜＜386
即該生長期服用該藥，不會產(chǎn)生副作用
分析：（1）由已知中，該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時從體內(nèi)濾出該藥的60%，我們可設(shè)該生第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為a_n毫克，由于上午8點第一次服藥，則第2天上午服完藥時共服了3次藥，依次計算出a₁，a₂，a₃的值，即可得到第2天上午服完藥時，藥在他體內(nèi)還殘留量；
（2）由已知可得第n次服藥后，藥在他體內(nèi)的殘留量為a_n滿足：a_n=220+4a_n-1，利用綜合法，可得{a_n-}是一個以a₁-為首項，0.4為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可以求出a_n的取值范圍，與386比照后，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的函數(shù)特征，數(shù)列的應(yīng)用，其中根據(jù)已知條件分析出a_n=220+4a_n-1，是解答本題的關(guān)鍵，現(xiàn)時利用綜合求證{a_n-}是等比數(shù)列，也是數(shù)列中的難點．