Question

設(shè)t＞1，點(diǎn)A（-t，0），直線AM、BM的斜率之積為-t，對(duì)于每一個(gè)t，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C_t，
（1）求曲線C_t的方程及焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)（0，-t）的直線l與曲線C_t交于P、Q兩點(diǎn)，求△OPQ面積的最大值S（t），并求S（t）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，直接根據(jù)直線AM、BM的斜率之積為-t整理即可得到曲線C_t的方程，并求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先設(shè)出直線方程，把直線方程與曲線方程聯(lián)立，得到P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的斜率之間的關(guān)系；再代入三角形的面積計(jì)算公式，結(jié)合二次函數(shù)求值域的方法即可得到結(jié)論．（注意需要換元，不然太麻煩）．
解答：解：（1）設(shè)M（x，y），則．
整理得曲線的方程為：（x≠±t）．
又因?yàn)閠＞1，
所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，t（），（0，-t（））．
（2）設(shè)直線l：y=kx+t，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由得（t+k²）x²-2ktx+t²-t³，
則，．
∴S_△=•t•|x₁-x₂|=•t•=t²•
設(shè)t+k²=m，則S（t）=
當(dāng)1＜t≤2時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)t+k²=2時(shí)取等號(hào)），此時(shí)
當(dāng)t＞2時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)t+k²=t時(shí)取等號(hào)），此時(shí)
綜上，S（t）的取值范圍是（，+∞）…（9分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查詭計(jì)方程的求法以及分類討論思想的應(yīng)用，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是對(duì)知識(shí)的綜合考查，是道好題