設t>1,點A(-t,0),直線AM、BM的斜率之積為-t,對于每一個t,記點M的軌跡為曲線Ct,
(1)求曲線Ct的方程及焦點坐標;
(2)設O為坐標原點,過點(0,-t)的直線l與曲線Ct交于P、Q兩點,求△OPQ面積的最大值S(t),并求S(t)的值域.
分析:(1)先設出點M的坐標,直接根據(jù)直線AM、BM的斜率之積為-t整理即可得到曲線Ct的方程,并求出焦點坐標;
(2)先設出直線方程,把直線方程與曲線方程聯(lián)立,得到P、Q兩點的坐標和直線的斜率之間的關系;再代入三角形的面積計算公式,結合二次函數(shù)求值域的方法即可得到結論.(注意需要換元,不然太麻煩).
解答:解:(1)設M(x,y),則
•=-t (x≠±t).
整理得曲線的方程為:
+=1(x≠±t).
又因為t>1,
所以焦點坐標為:(0,t(
-1)),(0,-t(
-1)).
(2)設直線l:y=kx+t,P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),
由
得(t+k
2)x
2-2ktx+t
2-t
3,
則
x1+x2=,
x1x2=.
∴S
△=
•t•|x
1-x
2|=
•t•
=t
2•
設t+k
2=m,則S(t)=
t2•=t2•當1<t≤2時,
S(t)max=t2(當且僅當t+k
2=2時取等號),此時
<S(t)≤2當t>2時,
S(t)max=t•,(當且僅當t+k
2=t時取等號),此時
S(t)>2綜上,S(t)的取值范圍是(
,+∞)…(9分)
點評:本題主要考查詭計方程的求法以及分類討論思想的應用,直線與圓錐曲線的位置關系,是對知識的綜合考查,是道好題