設t>1,點A(-t,0),直線AM、BM的斜率之積為-t,對于每一個t,記點M的軌跡為曲線Ct,
(1)求曲線Ct的方程及焦點坐標;
(2)設O為坐標原點,過點(0,-t)的直線l與曲線Ct交于P、Q兩點,求△OPQ面積的最大值S(t),并求S(t)的值域.
分析:(1)先設出點M的坐標,直接根據(jù)直線AM、BM的斜率之積為-t整理即可得到曲線Ct的方程,并求出焦點坐標;
(2)先設出直線方程,把直線方程與曲線方程聯(lián)立,得到P、Q兩點的坐標和直線的斜率之間的關系;再代入三角形的面積計算公式,結合二次函數(shù)求值域的方法即可得到結論.(注意需要換元,不然太麻煩).
解答:解:(1)設M(x,y),則
y
x+t
y
x-t
=-t    (x≠±t)

整理得曲線的方程為:
x2
t2
+
y2
t3
=1
(x≠±t).
又因為t>1,
所以焦點坐標為:(0,t(
t
-1)
),(0,-t(
t
-1
)).
(2)設直線l:y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),
y=kx-t
x2
t2
y2
t3
=1
得(t+k2)x2-2ktx+t2-t3,
x1+x2=
2kt
t+k2
,x1x2=
t2-t3
t+k2

∴S=
1
2
•t•|x1-x2|=
1
2
•t•
(
2kt
t+k2
)
2
-4•
t2-t3
t+k2
=t2
t2-t+tk2
(t+k2)2

設t+k2=m,則S(t)=t2
mt-t
m2
=t2
t
-(
1
m
-
1
2
)
2
+
1
4

當1<t≤2時,S(t)max=
1
2
t2
t
(當且僅當t+k2=2時取等號),此時
1
2
<S(t)≤2
2

當t>2時,S(t)max=t•
t2-t
,(當且僅當t+k2=t時取等號),此時S(t)>2
2

綜上,S(t)的取值范圍是(
1
2
,+∞)…(9分)
點評:本題主要考查詭計方程的求法以及分類討論思想的應用,直線與圓錐曲線的位置關系,是對知識的綜合考查,是道好題
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某建筑公司要在一塊寬大的矩形地面(如圖所示)上進行開發(fā)建設,陰影部分為一公共設施建設不能開發(fā),且要求用欄柵隔開(欄柵要求在一直線上),公共設施邊界為曲線f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,欄柵與矩形區(qū)域的邊界交于點M、N,交曲線于點P,設P(t,f(t)).
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12
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(Ⅰ)求
ba
和c
的值;
(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間(用字母a表示);
(Ⅲ)當a=2時,設0<t<4且t≠2,曲線y=f(x)在點A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t);并求S(t)的最大值.

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已知拋物線C的頂點是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的中心,且焦點與該橢圓右焦點重合.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)若P(a,0)為x軸上一動點,過P點作直線交拋物線C于A、B兩點.
(�。┰OS△AOB=t•tan∠AOB,試問:當a為何值時,t取得最小值,并求此最小值.
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設t>1,點A(-t,0),直線AM、BM的斜率之積為-t,對于每一個t,記點M的軌跡為曲線Ct,
(1)求曲線Ct的方程及焦點坐標;
(2)設O為坐標原點,過點(0,-t)的直線l與曲線Ct交于P、Q兩點,求△OPQ面積的最大值S(t),并求S(t)的值域.

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