Question

函數(shù)f（x）=x³+ax²+x+2（x∈R）
（1）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)的極值
（2）若f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）（理科做，文科不用做）
若a=3時(shí)，f（x）=x³+3x²+x+2的導(dǎo)函數(shù)f^′（x）是二次函數(shù)，f^′（x）的圖象關(guān)于軸對稱．你認(rèn)為三次函數(shù)f（x）=x³+3x²+x+2的圖象是否具有某種對稱性，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，得f（x）=x³-x²+x+2，求出f′（x），根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可求極值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數(shù)，等價(jià)于f′（x）≥0恒成立，由此可解；
（3）先猜測f（x）=x³+3x²+x+2的圖象具備中心對稱，再根據(jù)中心對稱的定義進(jìn)行證明即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x³-x²+x+2，f′（x）=3x²-2x+1＞0恒成立，
故f（x）在R上是增函數(shù)，所以f（x）不存在極值；
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數(shù)，則有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，則△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

3

，

3

]．
（2）f（x）在x∈（-∞，∞）上是增函數(shù)，則有f′（x）≥0恒成立，
即3x²+2ax+1≥0恒成立，則△=4a²-4×3×1≤0，解得-

3

≤a≤

3

，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

3

，

3

]．
（3）f（x）=x³+3x²+x+2的圖象具備中心對稱．
證明：f′（x）=3x²+6x+1的對稱軸x=-1，現(xiàn)證f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)C（-1，3）中心對稱．
設(shè)M（x，y）是y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)，且M（x，y）關(guān)于C（-1，3）對稱的點(diǎn)為N（x₀，y₀），
則

x+x0 2 =-1 y+y0 2 =3

，得

x0=-2-x y0=6-y

，
因?yàn)?span id="n8gnuku" class="MathJye">f(x0)=x03+3x02+x0+2=（-2-x）³+3（-2-x）²+（-2-x）+2=-（x³+3x²+x+2）+6=-y+6=y₀，
故M關(guān)于點(diǎn)C（-1，3）對稱的點(diǎn)N（x₀，y₀）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
所以f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)C（-1，3）中心對稱．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的對稱性問題，（3）問為存在性問題．