【題目】已知圓的方程為
,直線
的方程為
,點(diǎn)
在直線
上,過點(diǎn)
作圓
的切線
,切點(diǎn)為
.
(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為
,求切線
的方程;
(2)求四邊形面積的最小值;
(3)求證:經(jīng)過三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),并求出所有定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】(1)或
(2)
(3)見解析
【解析】試題分析:(1)解:①當(dāng)切線斜率不存在時,切線方程為;②當(dāng)切線斜率存在時,設(shè)切線方程為
,根據(jù)直線和圓相切,求得
,即可得到直線的方程;
(2)由四邊形的面積
,得到當(dāng)
最小時,四邊形的面積
最小,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離,即可求解,即可求解面積的最小值.
(3)設(shè)點(diǎn),得到圓心坐標(biāo)是
,進(jìn)而得到圓的方程,利用圓系方程,進(jìn)而可判定經(jīng)過
三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn).
試題解析:
(1)①當(dāng)切線斜率不存在時,切線方程為;
②當(dāng)切線斜率存在時,設(shè)切線方程為,
因?yàn)橹本和圓相切,所以圓心到切線的距離
,解得
,
所以切線方程為,即
.
故所求切線方程為或
.
(2)四邊形的面積
,
所以當(dāng)最小時,四邊形
的面積
最小.
又的最小值是圓心
到直線
的距離,
即.
所以四邊形的面積最小值是
.
(3)證明:過三點(diǎn)的圓即以
為直徑的圓,
設(shè)點(diǎn),則圓心坐標(biāo)是
,
以為直徑的圓的方程是
,
化簡,得,
即.(*)
令,解得
或
.
由于不論為何值,點(diǎn)
、
的坐標(biāo)都適合方程(*),所以經(jīng)過
三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)是
和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為
,橢圓
過點(diǎn)
,直線
交
軸于
,且
,
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)是橢圓
的上頂點(diǎn),過點(diǎn)
分別作直線
交橢圓
于
兩點(diǎn),設(shè)這兩條直線的斜率分別為
,且
,證明:直線
過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a2=8,Sn= ﹣n﹣1.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{ }的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前
項(xiàng)和為
,點(diǎn)
在直線
上.數(shù)列
滿足
,且
,前11項(xiàng)和為
.
(1)求數(shù)列、
的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)是否存在
,使得
成立?若存在,求出
的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬, 田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽,則田忌的馬獲勝的概率為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐,底面
是邊長為
的菱形,
,
為
的中點(diǎn),
,
與平面
所成角的正弦值為
.
(1)在棱上求一點(diǎn)
,使
平面
;
(2)求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元,每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬只并全部銷售完,每萬只的銷售收入為
萬元,且
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量
(萬只)的函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時,該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)拋物線:
(
)的焦點(diǎn)為
,準(zhǔn)線為
,
,且
在第一象限,已知以
為圓心,
為半徑的圓
交
于
,
兩點(diǎn)(
在
的上方),
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若是邊長為
的等邊三角形,且直線
:
(
)與拋物線
相交于
,
兩點(diǎn),證明:
為定值;
(2)記直線與拋物線
的另一個交點(diǎn)為
,若
與
的面積比為3,證明:直線
過點(diǎn)
.
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