Question

已知橢圓C過(guò)點(diǎn)是橢圓的左焦點(diǎn)，P、Q是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數(shù)列．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：線段PQ的垂直平分線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)A；

(3)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)是B，求|PB|的最小值及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)橢圓的方程為，由已知，得，解得 　　所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　3分 　　(2)證明：設(shè)．由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可知 　　 　　同理　　4分 　　∵，∴ 　　∴　　5分 　�、佼�(dāng)時(shí)，由，得 　　從而有 　　設(shè)線段的中點(diǎn)為，由　　6分 　　得線段的中垂線方程為　　7分 　　∴，該直線恒過(guò)一定點(diǎn)　　8分 　　②當(dāng)時(shí)，或 　　 　　線段的中垂線是軸，也過(guò)點(diǎn)， 　　∴線段的中垂線過(guò)點(diǎn)　　10分 　　(3)由，得． 　　又，∴ 　　　　2分 　　∴時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為　　14分