Question

如圖，已知橢圓C：＋y²＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的兩個(gè)頂點(diǎn)．

(1)設(shè)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，若，求證：動(dòng)點(diǎn)Q(m，n)在定圓上運(yùn)動(dòng)，并求出定圓的方程；

(2)若M、N是橢圓C上兩上動(dòng)點(diǎn)，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，說(shuō)明理由．

Answer 1

 (1)證明　易求A(2,1)，B(－2,1)．(2分)

所以＋(m＋n)²＝1，即m²＋n²＝.故點(diǎn)Q(m，n)在定圓x²＋y²＝上．(8分)

(2)解　設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，則＝－.

平方得xx＝16yy＝(4－x)(4－x)，即x＋x＝4.(10分)

因?yàn)橹本�MN的方程為(x₂－x₁)x－(y₂－y₁)y＋x₁y₂－x₂y₁＝0，

所以O到直線MN的距離為

d＝

所以△OMN的面積S＝MN·d

＝＝1.

故△OMN的面積為定值1.(16分)