Question

設(shè)A，F(xiàn)分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)與右焦點(diǎn)，若在其右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使得線段PA的垂直平分線恰好經(jīng)過點(diǎn)F，則橢圓的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題意，橢圓上右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等，根據(jù)|PF|的范圍求得|FA|的范圍，進(jìn)而求得

c

a

的范圍即離心率e的范圍．

解答：解：由題意，橢圓上右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)F，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等
而|FA|=a+c，如圖，
又|FH|=

a2

c

-c
|PF|≥|FH|，
于是a+c≥

a2

c

-c即ac+2c^2≥a²，
∴2e²+e-1≥0，e≥

1

2

，又e∈（0，1）
故e∈[

1

2

，1）
故答案為：[

1

2

，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段的中點(diǎn)公式，兩直線垂直的性質(zhì)，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題．