Question

設(shè)b＞0，橢圓方程為

x2

2b2

+

y2

b2

=1，拋物線方程為y=

1

8

x2+b，如圖所示，過點(diǎn)F（0，b+2）作x軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為G，已知拋物線在點(diǎn)G處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁．
（1）求點(diǎn)G和點(diǎn)F₁的坐標(biāo)（用b表示）；
（2）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；
（3）設(shè)A，B分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，試探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形？若存在，指出共有幾個(gè)這樣的點(diǎn)？并說明理由（不必具體求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)）．

Answer 1

分析：（1）直接可以寫出；
（2）利用拋物線在點(diǎn)G處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F₁可以求得；
（3）將直角關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0，從而求出滿足條件的三角形的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，b+2）…（2分）
由橢圓方程得F₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2-b，0）
（2）由y=

1

8

x2+b得，y′=

1

4

x，y'|_x=4=1，…（2分）
過點(diǎn)G的切線方程為y-（b+2）=x-4即y=x+b-2…（2分）F₁點(diǎn)的坐標(biāo)（b，0）代入得b=1
即橢圓和拋物線的方程分別為

x2

2

+y2=1和y=

1

8

x2+1；…（2分）
（3）∵過A作x軸的垂線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)P，∴以∠PAB為直角的Rt△ABP只有一個(gè)，
同理：以∠PBA為直角的Rt△ABP只有一個(gè)．…（2分）
若以∠APB為直角，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，

1

8

x2+1)，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-

2

，0)和(

2

，0)，

PA

•

PB

=x2-2+(

1

8

x2+1)2=

1

64

x4+

5

4

x2-1=0．
關(guān)于x²的二次方程有一大于零的解，∴x有兩解，
即以∠APB為直角的Rt△ABP有兩個(gè)，…（2分）
因此拋物線上存在四個(gè)點(diǎn)使得△ABP為直角三角形．…（1分）

點(diǎn)評：本題綜合性強(qiáng)，解題時(shí)應(yīng)注意充分利用條件，將解析幾何與導(dǎo)數(shù)、向量巧妙地結(jié)合起來