Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2+alnx（a＜0）．
（Ⅰ）若a=-1，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若?x＞0，不等式f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：轉化思想,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)f'（x），分別令它大于0，小于0，注意定義域（0，+∞），求出單調增區(qū)間，單調減區(qū)間，從而確定極值；
（Ⅱ）求出導數(shù)f'（x），令f'（x）=0，則x=

-a

，列表寫出函數(shù)的單調區(qū)間，極小值說明也是最小值，求出它，將?x＞0，不等式f（x）≥0恒成立，轉化為在x＞0上f（x）_min≥0，解不等式求出a的取值范圍，注意a＜0的條件．

解答： 解：（Ⅰ）當a=-1時，f(x)=

1

2

x2-lnx，（x＞0），f'（x）=x-

1

x

，
令f′(x)=x-

1

x

＞0，又x＞0，得x＞1，
∴f（x）的單調增區(qū)間為（1，+∞），
令f′(x)=x-

1

x

＜0，又x＞0，得0＜x＜1，
∴f（x）的單調減區(qū)間為（0，1），
∴f（x）在x=1處有極小值f(1)=

1

2

，無極大值；
（Ⅱ）∵a＜0，由f′(x)=x+

a

x

．令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=

-a

，
列表：

x	(0， -a )	-a	( -a ，+∞)
f′（x）	_	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴f（x）在x=

-a

處有極小值，也為最小值，即f(x) min=f(

-a

)=-

a

2

+aln

-a

，
∵?x＞0，不等式f（x）≥0恒成立，
∴-

a

2

+aln

-a

≥0，∴-e≤a＜0，
∴實數(shù)a的取值范圍為[-e，0）．

點評：本題主要考查應用導數(shù)求單調區(qū)間，這里要注意函數(shù)的定義域，同時考查應用導數(shù)求極值、求最值，考查不等式恒成立轉化為求函數(shù)最值問題的能力，要認真體會．