Question

在直角坐標系xOy中，設動點P到直線的距離為d₁，到點（0，）的距離為d₂，且．又設點P的軌跡為C，直線l：y=kx+1與C交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出軌跡C的方程；
（Ⅱ）若，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，試問：當k＞0時，是否恒有？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，）為焦點，以直線為準線的橢圓．由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）由，得（k²+4）x²+2kx-3=0．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），故，．若，即x₁x₂+y₁y₂=0．由此能求出k的值．
（Ⅲ）=．因為A在第一象限，故x₁＞0．由，知x₂＜0，由此計k＞0時，．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，）為焦點，以直線為準線的橢圓．
由得，故曲線C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）由，消去y并整理得（k²+4）x²+2kx-3=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
故，．
若，即x₁x₂+y₁y₂=0．
而y₁y₂=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
于是，
化簡得-4k²+1=0，
所以k=．…．（8分）
（Ⅲ）
=（x₁²-x₂²）+4（1-x₁²-1+x₂²）
=-3（x₁-x₂）（x₁+x₂）
=．
因為A在第一象限，故x₁＞0．
由，知x₂＜0，
從而x₁-x₂＞0．又k＞0，
故，
即在題設條件下，恒有．…（12分）
點評：通過幾何量的轉化考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過直線與圓錐曲線的位置關系處理，考查學生的運算能力．通過向量與幾何問題的綜合，考查學生分析轉化問題的能力，探究研究問題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設而不解的代數(shù)變形的思想．