Question

已知函數(shù)f（x）=lg（

1-mx

1-x

）為奇函數(shù)．
（1）求m的值，并求f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（3）若對(duì)于任意θ∈[0，

π

2

]，是否存在實(shí)數(shù)λ，使得不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）-lg3＞0．若存在，求出實(shí)數(shù)λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的條件建立方程關(guān)系，即可求m的值，
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）利用三角函數(shù)姜不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解三角不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=lg（

1-mx

1-x

）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）在定義域內(nèi)恒成立，
即lg（

1+mx

1+x

）=-lg（

1-mx

1-x

），
即lg（

1+mx

1+x

）+lg（

1-mx

1-x

）=0，
則

1+mx

1+x

•

1-mx

1-x

=1，即1-m²x²=1-x²，在定義域內(nèi)恒成立，
∴m=-1或m=1，當(dāng)m=1時(shí)，f（x）=lg（

1-mx

1-x

）=lg1=0，
∴m=-1，此時(shí)f（x）=lg

1+x

1-x

，
由

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，
故函數(shù)的定義域是（-1，1）．
（2）∵f（x）=lg

1+x

1-x

，-1＜x＜1，任取-1＜x₁＜x₂＜1，
設(shè)u（x）=

1+x

1-x

，-1＜x＜1，
則u（x₁）-u（x₂）=

1+x1

1-x1

-

1+x2

1-x2

=

2(x1-x2)

(1-x1)(1-x2)

∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴u（x₁）-u（x₂）＜0，∴u（x₁）＜u（x₂），即lgu（x₁）＜lgu（x₂），
∴f（x₁）＜f（x₂），即f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得不等式不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）-lg3＞0成立，
即不等式f（cos²θ+λsinθ-

1

3

）＞lg3=f（

1

2

），
由（1），（2）知：

1

2

＜cos²θ+λsinθ-

1

3

＜1 對(duì)于任意θ∈[0，

π

2

]，
即

1-sin2θ+λsinθ- 1 3 ＜1 1-sin2θ+λsinθ- 1 3 ＞ 1 2

，當(dāng)θ=0時(shí)成立；

當(dāng)θ∈（0，

π

2

]時(shí)，令sinθ=t，則

-t2+λt＜ 1 3 -t2+λt＞- 1 6

，
即

λ＜ 2 3 3 λ＞ 5 6

，則

5

6

＜λ＜

2 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和應(yīng)用．