Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的短軸長(zhǎng)為2，且與拋物線y2=4

3

x有共同的焦點(diǎn)，橢圓C的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線AP，BP與直線y=3分別交于G，H兩點(diǎn)．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求線段GH的長(zhǎng)度的最小值；
（Ⅲ）在線段GH的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，橢圓C上是否存在一點(diǎn)T，使得△TPA的面積為1，若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）由橢圓和拋物線y2=4

3

x有共同的焦點(diǎn)，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)a²=b²+c²，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）根據(jù)（I）寫出點(diǎn)A，B，設(shè)點(diǎn)P和直線AP，BP的方程，并且與直線y=3分聯(lián)立，求出G，H兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，根據(jù)求函數(shù)的最值方法可求；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，可求直線AP的方程及點(diǎn)P，若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TPA的面積等于1，則點(diǎn)T到直線AP的距離是定值，利用點(diǎn)到直線的距離公式可解．

解答：解：（I）由已知得，拋物線的焦點(diǎn)為(

3

，0)，則c=

3

，又b=1．
由a²-b²=c²，可得a²=4．
故橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）直線AP的斜率k顯然存在，且k＞0，故可設(shè)直線AP的方程為y=k（x+2），從而G(

3

k

-2，3)．
由

y=k(x+2) x2 4 +y2=1.

得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0．
設(shè)P（x₁，y₁），則(-2)x1=

16k2-4

1+4k2

．所以x1=

2-8k2

1+4k2

，從而y1=

4k

1+4k2

．
即P(

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

)，又B（2，0），
則直線PB的斜率為-

1

4k

．
由

y=- 1 4k (x-2) y=3.

得

x=-12k+2 y=3.

所以H（-12k+2，3）．
故|GH|=|

3

k

-2+12k-2|=|

3

k

+12k-4|．
又k＞0，

3

k

+12k≥2

3 k •12k

=12．
當(dāng)且僅當(dāng)

3

k

=12k，即k=

1

2

時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)k=

1

2

時(shí)，線段GH的長(zhǎng)度取最小值8．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，k=

1

2

．
則直線AP的方程為x-2y+2=0，此時(shí)P（0，1），|AP|=

5

．
若橢圓C上存在點(diǎn)T，使得△TPA的面積等于1，則點(diǎn)T到直線AP的距離等于

2 5

5

，
所以T在平行于AP且與AP距離等于

2 5

5

的直線l上．
設(shè)直線l：y=

1

2

x+t．
則由

y= 1 2 x+t x2 4 +y2=1.

得x²+2tx+2t²-2=0．
△=4t²-8（t²-1）≥0．即t²≤2．
由平行線間的距離公式，得

|2-2t|

5

=

2 5

5

，
解得t=0或t=2（舍去）．
可求得T(

2

，

2

2

)或T(-

2

，-

2

2

)．

點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)難題．本題考查了橢圓的定義、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．其中問(wèn)題（III）是一個(gè)開放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，