已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2
,結(jié)合b2=a2-c2,即可求得橢圓C的方程;
(Ⅱ)因?yàn)橹本l經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)的點(diǎn)B(-1,0),所以直線l與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),其方程是:x=-1,以MN為直徑的圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)方程是y=k(x+1),將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以
OM
ON
=0,即可求得結(jié)論.
解答:解:(Ⅰ)由已知e=
c
a
=
3
2
,即c2=
3
4
a2,b2=a2-c2=
1
4
a2,
x2
a2
+
4y2
a2
=1

∵橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),
1
a2
+
12
4a2
=1

∴a2=2,∴b2=1,
∴橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1.
(Ⅱ)因?yàn)橹本l經(jīng)過(guò)橢圓內(nèi)的點(diǎn)B(-1,0),所以直線l與橢圓恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M,N.
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),其方程是:x=-1,代入
x2
4
+y2=1得y=±
3
2
,可知M(-1,
3
2
),N(-1,-
3
2

∴以MN為直徑的圓不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)方程是y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2
y=k(x+1)
x2
4
+y2=1
,可得(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0
∴x1+x2=
-8k2
1+4k2
,x1•x2=
4k2-4
1+4k2
,
因?yàn)橐訫N為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,所以
OM
ON
=0.
可得x1x2+y1y2=x1x2+k(x1+1)•k(x2+1)=(1+k2)x1x2+k2(x1+x2)+k2=0.
∴(1+k2)×
4k2-4
1+4k2
+k2×
-8k2
1+4k2
+k2=0.
∴k=±2
綜上所述,過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O,
方程為y=2x+2或y=-2x-2.
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是利用以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí),
OM
ON
=0.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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