Question

如圖，長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，G是CC₁上的動點(diǎn)．
（l）求證：平面ADG⊥CDD₁C₁；
（2）判斷B₁C₁與平面ADG的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）若G是CC₁的中點(diǎn)，求二面角G-AD-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面CDD₁C₁，由此能夠證明平面ADG⊥平面CDD₁C₁．
（2）當(dāng)G與C₁重合時(shí)，B₁C₁在平面ADG內(nèi)；當(dāng)點(diǎn)G與C₁不重合時(shí)，B₁C₁∥平面ADG．利用空間幾何的位置關(guān)系能夠進(jìn)行證明．
（3）由已知條件能夠推導(dǎo)出∠GDC為二面角G-AD-C的平面角，由此能夠求出二面角G-AD-C的大小．

解答： （1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，且AB=AD，
∴AD⊥平面CDD₁C₁，
∵AD?平面ADG，
∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁．
（2）解：當(dāng)G與C₁重合時(shí)，B₁C₁在平面ADG內(nèi)，
當(dāng)點(diǎn)G與C₁不重合時(shí)，B₁C₁∥平面ADG．
證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，∴B₁C₁∥AD，
若點(diǎn)G與C₁重合，平面ADG就是B₁C₁與AD確定的平面，
∴B₁C₁?平面ADG．
若G與C₁不重合，
∵B₁C₁不包含于平面ADG，AD?平面ADG，且B₁C₁∥AD，
∴B₁C₁∥平面ADG．
（3）解：∵AD⊥DG，AD⊥DC，
∴∠GDC為二面角G-AD-C的平面角，
在Rt△GDC中，
∵GC=1，DC=1，
∴∠GDC=45°．
∴二面角G-AD-C的大小為45°．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷與證明，考查二面角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．