Question

橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別是F₁，F₂，離心率為，過F₁且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，❶連接PF₁，PF₂，設(shè)∠F₁PF₂的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；

(3)在(2)的條件下，過點P作斜率為k的直線l，使得l與橢圓C有且只有一個公共點．❷設(shè)直線PF₁，PF₂的斜率分別為k₁，k₂，若k≠0，試證明＋為定值，❸并求出這個定值．

Answer 1

解　(1)橢圓C的方程為＋y²＝1(過程略)．

(2)m的取值范圍是 (過程略)．

(3)設(shè)P(x₀，y₀)(y₀≠0)，則直線l的方程為y－y₀＝k(x－x₀)．

聯(lián)立整理得

(1＋4k²)x²＋8(ky₀－k²x₀)x＋4(y－2kx₀y₀＋k²x－1)＝0.

由題意，得Δ＝0，即(4－x)k²＋2x₀y₀k＋1－y＝0.

又＋y＝1，所以16yk²＋8x₀y₀k＋x＝0，

即(4y₀k＋x₀)²＝0.故k＝－.

由橢圓C可得F₁(－，0)，F₂(，0)，又P(x₀，y₀)，所以＋＝＝，

所以＋＝·＝－8.

因此＋為定值，這個定值為－8.