Question

如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AC=AD=2，BC=CD=1
（Ⅰ）求四面體ABCD的體積；
（Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值．

Answer 1

【答案】分析：法一：幾何法，
（Ⅰ）過(guò)D作DF⊥AC，垂足為F，由平面ABC⊥平面ACD，由面面垂直的性質(zhì)，可得DF是四面體ABCD的面ABC上的高；設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，可得AG⊥CD，計(jì)算可得AG與DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可得S_△ABC，由棱錐體積公式，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）過(guò)F作FE⊥AB，垂足為E，連接DE，分析可得∠DEF為二面角C-AB-D的平面角，計(jì)算可得EF的長(zhǎng)，由（Ⅰ）中DF的值，結(jié)合正切的定義，可得答案．
法二：向量法，
（Ⅰ）首先建立坐標(biāo)系，根據(jù)題意，設(shè)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)O作OH⊥AC，交AB與H，過(guò)O作OM⊥AC，交AD與M；易知OH⊥OM，因此可以以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OH、OC、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系O-XYZ，進(jìn)而可得B、D的坐標(biāo)；從而可得△ACD邊AC的高即棱住的高與底面的面積，計(jì)算可得答案；
（Ⅱ）設(shè)非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，由（Ⅰ）易得向量的坐標(biāo)，同時(shí)易得=（0，0，1）是平面ABC的法向量，由向量的夾角公式可得從而cos＜，＞，進(jìn)而由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，可得tan＜，＞，即可得答案．
解答：解：法一
（Ⅰ）如圖：過(guò)D作DF⊥AC，垂足為F，由平面ABC⊥平面ACD，
可得DF⊥平面ABC，即DF是四面體ABCD的面ABC上的高；
設(shè)G為邊CD的中點(diǎn)，由AC=AD，可得AG⊥CD，
則AG===；
由S_△ADC=AC•DF=CD•AG可得，DF==；
在Rt△ABC中，AB==，
S_△ABC=AB•BC=；
故四面體的體積V=×S_△ABC×DF=；
（Ⅱ）如圖，過(guò)F作FE⊥AB，垂足為E，連接DE，
由（Ⅰ）知DF⊥平面ABC，由三垂線定理可得DE⊥AB，故∠DEF為二面角C-AB-D的平面角，
在Rt△AFD中，AF===；
在Rt△ABC中，EF∥BC，從而，可得EF=；
在Rt△DEF中，tan∠DEF==．
則二面角C-AB-D的平面角的正切值為．
解法二：（Ⅰ）如圖（2）
設(shè)O是AC的中點(diǎn)，過(guò)O作OH⊥AB，交AB與H，過(guò)O作OM⊥AC，交AD與M；
由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM，
因此以O(shè)為原點(diǎn)，以射線OH、OC、OM為x軸、y軸、z軸，建立空間坐標(biāo)系O-XYZ，
已知AC=2，故A、C的坐標(biāo)分別為A（0，-1，0），C（0，1，0）；
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x₁，y₁，0），由⊥，||=1；
有，
解可得或（舍）；
即B的坐標(biāo)為（，，0），
又舍D的坐標(biāo)為（0，y₂，z₂），
由||=1，||=2，有（y₂-1）²+z₂²=1且（y₂+1）²+z₂²=1；
解可得或（舍），
則D的坐標(biāo)為（0，，），
從而可得△ACD邊AC的高為h=|z₂|=
又||=，||=1；
故四面體的體積V=××||×||h=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=（，，0），=（0，，），
設(shè)非零向量=（l，m，n）是平面ABD的法向量，則由⊥可得，l+m=0，（1）；
由⊥可得，m+n=0，（2）；
取m=-1，由（1）（2）可得，l=，n=，即=（，-1，）
顯然=（0，0，1）是平面ABC的法向量，
從而cos＜，＞=；
故tan＜，＞=；
則二面角C-AB-D的平面角的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：本題是立體幾何綜合題目，此類題目一般有兩種思路即幾何法與向量法，注意把握兩種思路的特點(diǎn)，進(jìn)行選擇性的運(yùn)用．