Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x+x²-a（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若存在b∈[0，1]使f（f（b））=b成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用反函數(shù)將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再將解方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象交點(diǎn)問(wèn)題．

解答： 解：∵存在b∈[0，1]，使f（f（b））=b成立
∴存在b∈[0，1]，使f（b）=f^-1（b）
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[0，1]上有交點(diǎn)
∵f（x）=e^x+x²-a在[0，1]上為增函數(shù)
∴函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）在[0，1]的交點(diǎn)在直線y=x上，
即函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f^-1（x）的交點(diǎn)就是f（x）與y=x的交點(diǎn)
令：e^x+x²-a=x，則方程在[0，1]上一定有解
∴a=e^x+x²-x
設(shè)g（x）=e^x+x²-x
則g′（x）=e^x+2x-1＞0在[0，1]上恒成立，
∴g（x）=e^x+x²-x在[0，1]上遞增
∴a=g（x）≥g（0）=1，
g（x）≤g（1）=1+e；
綜上可知，1≤a≤1+e
故答案為：1≤a≤1+e．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，屬于難題．