Question

已知向量=（2cos，tan（+）），=（sin（+），tan（-）），令f（x）=．
（1）求當(dāng)x∈（，）時(shí)函數(shù)f（x）的值域；
（2）是否存在實(shí)數(shù)x∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)）？若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用兩個向量的數(shù)量積公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為 sin（x+），根據(jù)x的范圍，求出函數(shù)的值域．
（2）先求出 f′（x）的解析式，由f（x）+f′（x）=0 化簡可得cosx=0．再由x∈[0，π]，可得當(dāng)x=時(shí)，cosx=0成立，由此得出結(jié)論．
解答：解：（1）f（x）==2cos•sin（）+tan（+）tan（-）
=2cos （sin+cos）-1=sinx+cosx=sin（x+）．
當(dāng)x∈（，）時(shí)，x+∈（，），sin（x+）∈（ ，）．
故函數(shù)的值域?yàn)?（，1）．
（2）∵由上可得 f′（x）=cos（x+），由f（x）+f′（x）=0，
可得 sin（x+）+cos（x+）=0． 即 cosx=0．
再由實(shí)數(shù)x∈[0，π]，可得當(dāng)x=時(shí)，cosx=0成立，即 f（x）+f′（x）=0 成立．
點(diǎn)評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．