Question

選修4-5；不等式選講
已知f（x）=x|x-a|-2
（1）當(dāng)a=1時(shí)，解不等式f（x）＜|x-2|；
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＜

1

2

x²-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用a=1，化簡不等式，通過x≥2，1≤x＜2，x＜1分別去掉絕對值符號，然后求解不等式即可．
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＜

1

2

x²-1恒成立，轉(zhuǎn)化為a的表達(dá)式，通過函數(shù)的單調(diào)性以及基本不等式求出表達(dá)式的最值，得到a的范圍．

解答：解：（1）a=1，f（x）＜|x-2|，x|x-1|-2＜|x-2|．
①當(dāng)x≥2時(shí)，上式化為x（x-1）-2＜x-2，又x≥2，∴x∈∅；
②當(dāng)1≤x＜2時(shí)，由x|x-1|-2＜|x-2|．可得x（x-1）-2＜2-x，解得-2＜x＜2又1≤x＜2
∴1≤x＜2．
③當(dāng)x＜1時(shí)，x|x-1|-2＜|x-2|．可得x（1-x）-2＜2-x，解得x＜1，
綜上不等式的解集為：{x|x＜2}．
（2）當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，f（x）＜

1

2

x2-1即x|x-a|-2＜

1

2

x2-1恒成立，
即

1

2

x-

1

x

＜a＜

3

2

x+

1

x

在x∈（0，1]上恒成立．
而g（x）=

1

2

x-

1

x

，在（0，1]上為增函數(shù)，所以g（x）_max=g（1）=-

1

2

．．
h（x）=

3

2

x+

1

x

≥2

3 2

=

6

．當(dāng)且僅當(dāng)

3

2

x=

1

x

，即x=

6

3

時(shí)取等號．
故a∈(-

1

2

，

6

)．

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式，函數(shù)的恒成立問題的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想．