Question

已知函數(shù) y=1+

2a(sinθ-cosθ)

a2+2acosθ+2

（a，θ∈R，a≠0）．那么對(duì)于任意的a，θ，函數(shù)y的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將所求關(guān)系式化為y=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，設(shè)t=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，整理后，利用直線2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)，即可求得函數(shù)y的最大值．

解答： 解：y=1+

2a(sinθ-cosθ)

a2+2acosθ+2

可化為y=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，
設(shè)t=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，
則2atcosθ-2asinθ+（t-1）（a²+2）=0，
所以直線2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0與圓x²+y²=1有公共點(diǎn)，從而有

|t-1|(a2+2)

2|a| t2+1

≤1，
整理得

|t-1|

t2+1

≤

2|a|

a2+2

≤

2|a|

2 2 |a|

=

1

2

，于是

|t-1|

t2+1

≤

1

2

，得t²-4t+1≤0，
解得2+

3

≥t≥2-

3

．
∴函數(shù)y的最大值為2+

3

．
故答案為：2+

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，著重考查直線與圓的位置關(guān)系，突出等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與綜合運(yùn)算能力，屬于難題．