在△OAB中，已知P為線段AB上一點，
OP
=x
OA
+y
OB
，
BP
=λ
PA
（λ為實數(shù)），OA=4，OB=2，∠AOB=60°
（1）當λ=1時，求x，y的值；
（2）當λ=3時，求
OP
•
AB
的值；
（3）當2≤λ≤3時，求
OP
•
AB
的取值范圍．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：計算題,平面向量及應用
分析：（1）運用中點的向量表示，即可得到x，y；
（2）運用向量的三角形法則和向量的定比表示，及向量的數(shù)量積的定義，計算即可得到；
（3）運用向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，化簡整理，再由分離變量法，結合條件即可得到所求范圍．
解答： 解：（1）當λ=1時，
BP
=
PA
，P為AB的中點，
則
OP
=
1
2
（
OA
+
OB
），則x=y=
1
2
；
（2）當λ=3時，
BP
=3
PA
，
則
OP
-
OB
=3（
OA
-
OP
），
即有
OP
=
1
4
（3
OA
+
OB
），
OP
•
AB
=
1
4
（3
OA
+
OB
）•（
OB
-
OA
）
=
1
4
（
OB
2-3
OA
2+2
OA
•
OB
）
=
1
4
×（4-3×16+2×4×2×
1
2
）=-9；
（3）由于
BP
=λ
PA
（λ為實數(shù)），
則
OP
-
OB
=λ（
OA
-
OP
），
則
OP
=
OB
+λ
OA
1+λ
，
即有
OP
•
AB
=
1
1+λ
（
OB
+λ
OA
）•（
OB
-
OA
）
=
1
1+λ
（
OB
2-λ
OA
2+λ
OA
•
OB
-
OA
•
OB
）
=
1
1+λ
（4-16λ+4λ-4）=-
12λ
1+λ
=-12（1-
1
1+λ
）
=-12+
12
1+λ
．
當2≤λ≤3時，即有3≤λ+1≤4，
即3≤
12
1+λ
≤4，
則有-9≤-12+
12
1+λ
≤-8．
則
OP
•
AB
的取值范圍為[-9，-8]．
點評：本題考查中點的向量表示，考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c． 
（1）若角A，B，C成等差數(shù)列，且sinAsinC=
2
2
，求tanAtanC的值； 
（2）若△ABC的三邊長a，b，c是某個等差數(shù)列中的連續(xù)三項，且∠A≥120°，試用邊a表示公差d的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，直線PA與圓O相切于點A，PBC是過點O的割線，∠APC的角平分線交AC于點E，交AB于點D，點H是線段ED的中點，連接AH并延長PC交于點F．證明：A，E，F(xiàn)，D四點共圓．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

拋物線的頂點是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的中心，焦點是橢圓左焦點，該拋物線方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
9
+
y2
5
=1的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上的一點，且∠F1PF2=60°，則△PF1F2的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an=
n
n-1
an-1+2n•3n-2（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列
1
2
的通項公式；
（2）令bn=
3n-1
an
（n∈N*），數(shù)列{bn}的前n項和為Sn，試比較S 2n與n的大小，并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知直線l：y=kx+b和曲線y=x3-3x+1相切，則斜率k最小時直線l的方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知拋物線C：x2=4y，過焦點F任作一條直線與C相交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D（O為坐標原點）．
（Ⅰ）證明：動點D在定直線上；
（Ⅱ）點P為拋物線C上的動點，直線l為拋物線C在P點處的切線，求點Q（0，4）到直線l距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓P與圓x2+y2-2x=0外切于點（1，-1），并且圓心在直線x+y+3=0上，求圓P的方程．

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同步練習冊答案