已知過(guò)點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q兩點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn),l與直線m:x+3y+6=0相交于點(diǎn)N,則下面運(yùn)算結(jié)果為定值的有( 。
AP
AQ
AM
AC

AC
AN
AM
AN
分析:根據(jù)已知條件,我們可以求出兩條直線的交點(diǎn)N的坐標(biāo)(含參數(shù)k),然后根據(jù)向量數(shù)量積公式,利用切割線定理判斷
AP
AQ
為定值,即可求出
AM
AC
,
AC
AN
AM
AN
的值,進(jìn)而得到結(jié)論
解答:解:對(duì)于①,由題意
AP
AQ
=|
AP
|•|
AQ
|
,過(guò)A作AT與圓相切,切點(diǎn)為T,根據(jù)切割線定理可知AT2=|
AP
|•|
AQ
|
=定值.①正確.
對(duì)于②,
AM
AC
=
|AM
|•|
AC
|cos∠CAM
=
AM
2
不是定值,②不正確;
對(duì)于③,對(duì)于④,因?yàn)镃M⊥MN,
AM
AN
=(
AC
+
CM
)•
AN
=
AC
AN
+
CM
AN
=
AC
AN
,
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),易得N(-1,-
5
3
),
AN
=(0,-
5
3
),又
AC
=(1,3),
AM
AN
=
AC
AN
=-5,
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x+1),
則由 y=k(x+1)x+3y+6=0,得N(
-3k-6
1+3k
-5k
1+3k
),
AN
=(
-5
1+3k
,
-5k
1+3k
),
AM
AN
=
AC
AN
=
-5
1+3k
+
-15k
1+3k
=-5,
綜上,
AM
AN
與直線l的斜率無(wú)關(guān),且
AM
AN
=-5.③④正確.
正確的個(gè)數(shù)為3個(gè).
故選C.
點(diǎn)評(píng):此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用,切割線定理的應(yīng)用,學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的條件,靈活運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值,靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值,會(huì)利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題,是一道綜合題.
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精英家教網(wǎng)已知過(guò)點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q兩點(diǎn),M是PQ中點(diǎn),l與直線m:x+3y+6=0相交于N.
(1)求證:當(dāng)l與m垂直時(shí),l必過(guò)圓心C;
(2)當(dāng)PQ=2
3
時(shí),求直線l的方程;
(3)探索
AM
AN
是否與直線l的傾斜角有關(guān)?若無(wú)關(guān),請(qǐng)求出其值;若有關(guān),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(1)求證:當(dāng)l與m垂直時(shí),l必過(guò)圓心C;
(2)探索
AM
AN
是否與直線l的傾斜角有關(guān)?若無(wú)關(guān),請(qǐng)求出其值;若有關(guān),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:0103 月考題 題型:解答題

已知過(guò)點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線與圓C:相交于P、Q兩點(diǎn),M是PQ的中點(diǎn),與直線m:相交于N。
(1)當(dāng)時(shí),求直線的方程;
(2)探索是否與直線的傾斜角有關(guān),若無(wú)關(guān),請(qǐng)求出其值;若有關(guān),請(qǐng)說(shuō)明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年云南省昆明一中高二(上)期末數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知過(guò)點(diǎn)A(-1,0)的動(dòng)直線l與圓C:x2+(y-3)2=4相交于P,Q兩點(diǎn),M是PQ中點(diǎn),l與直線m:x+3y+6=0相交于N.
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(2)當(dāng)時(shí),求直線l的方程;
(3)探索是否與直線l的傾斜角有關(guān)?若無(wú)關(guān),請(qǐng)求出其值;若有關(guān),請(qǐng)說(shuō)明理由.

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