Question

4．已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點F與雙曲線C₂：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點重合，C₁與C₂相交于點 A，B．
（1）若A，F(xiàn)，B三點共線，求雙曲線C₂的離心率e；
（2）設(shè)點P為雙曲線C₂上異于A，B的任一點，直線AP、BP分別與x軸交于點M（m，0）和N（n，0），問：mn是否為定值？若為定值，請求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過A，F(xiàn)，B三點共線，利用對稱性可知點A的橫坐標是c，代入雙曲線方程可得點A$（c，±\frac{b^2}{a}）$，利用點A在拋物線y²=4cx上可得b²=2ac，利用b²=c²-a²，計算即可；
（2）通過設(shè)P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₂，-y₂），代入雙曲線方程，結(jié)合直線PA的方程，令y=0得$m=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$，以-y₂代換y₂得$n=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，計算即可．

解答 解：（1）設(shè)雙曲線的右焦點為F（c，0），
依題意得拋物線的方程為y²=4cx，
∵A，F(xiàn)，B三點共線，∴點A的橫坐標是c，
代入雙曲線方程解得$y=±\frac{b^2}{a}$，即點A的坐標是$（c，±\frac{b^2}{a}）$，
∵點A在拋物線y²=4cx上，∴$\frac{b^4}{a^2}=4{c^2}$，即b²=2ac，
將b²=c²-a²代入上式，整理得：${（\frac{c}{a}）^2}-2•\frac{c}{a}-1=0$，
即e²-2e-1=0，解得$e=1±\sqrt{2}$，
∵e＞1，∴所求雙曲線C₂的離心率$e=\sqrt{2}+1$；
（2）結(jié)論：mn為定值a²．
理由如下：
設(shè)P（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₂，-y₂），
代入雙曲線方程得$\frac{x_1^2}{a^2}-\frac{y_1^2}{b^2}=1\;，\;\frac{x_2^2}{a^2}-\frac{y_2^2}{b^2}=1$，
而直線PA的方程為（x₂-x₁）（y-y₁）+（x-x₁）（y₁-y₂）=0，
令y=0得$m=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$，
在$m=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}$中，以-y₂代換y₂得$n=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$，
∴$mn=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}•\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{y_1}-{y_2}}}=\frac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{y_1^2-y_2^2}$=$\frac{{{a^2}（1+\frac{y_2^2}{b^2}）y_1^2-{a^2}（1+\frac{y_1^2}{b^2}）y_2^2}}{y_1^2-y_2^2}=\frac{{{a^2}y_1^2-{a^2}y_2^2}}{y_1^2-y_2^2}={a^2}$，
故mn為定值a²．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查雙曲線的離心率等基礎(chǔ)知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．