Question

設a為實數，函數=x³-x²-x+a.

(1)求的極值;

(2)當a在什么范圍內取值時，曲線與x軸僅有一個交點.

Answer 1

解：(1)=3x²-2x-1.

若=0,則x=-,1.

當x變化時, , 的變化情況如下表.

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1, +∞)
	+	0	-	0	+

所以的極大值是f(-)=＋a,極小值是f(1)=a－1.

(2)函數=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1.

由此可知x取足夠大的正數時,有＞0,x取足夠小的負數時有＜0.

所以曲線與x軸至少有一個交點.

結合的單調性可知.

當的極大值+a＜0,即a∈(-∞,-)時,它的極小值也小于0,因此曲線與x軸僅有一個交點,它在(1,+∞)上;

當的極小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)時,它的極大值也大于0，因此曲線與x軸僅有一個交點,它在(-∞,-)上.?

所以當a∈(-∞,-)∪(1,+∞)時,曲線與x軸僅有一個交點.